Subgruppo normal

In le algebra abstracte, un subgruppo normal es un subgruppo invariabile sub un automorphismo interne, alora un subgruppo $N$ del gruppo $G$ es normal in $G$, si e solmente si $gng^{-1}\in N$ pro omne $g\in G$ e $n\in N.$ Usualmente iste relation se indica $N\triangleleft G.$

Ma si on indica isto per $N\trianglelefteq G$, de altere parte le notation $N\vartriangleleft G$ significa explicitemente que $N\not =G$.

Definition

Sia $N<G$, a saper: Sia $N$ un subgruppo del gruppo $G$.

Si $g$ es un qualcunque elemento de $G$, le subinsimul

$gN:=\{gn\mid n\in N\}\subseteq G$

se nomina le classe de equivalentia a sinistra $gN$ de $N$ per le elemento $g$ de $G$.

Si $g$ es un qualcunque elemento de $G$, le subinsimul

$Ng:=\{ng\mid n\in N\}\subseteq G$

se nomina le classe de equivalentia a dextra $gN$ de $N$ per le elemento $g$ de $G$.

Propositiones

Pro un subgruppo $N\subseteq G$ le 8 propositiones sequente es equivalente per pares:

(1) $gNg^{-1}=N$ pro omne $g\in G$. (invariabilitate)

(2) $gng^{-1}\in N$ pro omne $g\in G$ e pro cata $n\in N$, a saper: $\forall g\in G\;\;gNg^{-1}\subseteq N$.

(3) $\forall g\in G\;\;gN=Ng$, a saper: Le classe de equivalentia a sinistra de $N$ concorda con le classe de equivalentia a dextra de $N$ pro omne $g\in G$.

(4) Omne classe de equivalentia a sinistra alsi es un classe de equivalentia a dextra.

(5) Omne classe de equivalentia a dextra alsi es un classe de equivalentia a sinistra.

(6) $G/N=N\backslash G$.

(7) Le insimul $N$ es un union de classes de conjugation del gruppo $G$.

(8) Il existe un homomorphismo de gruppos ex $G$, cuje nucleo es $N$.