Tabella de parve gruppos

La prime tabella lista le gruppos finite con un ordine minor o equal a 20 excepte isomorphitate.

Ordine	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Quantitate de gruppos abelian	1	1	1	2	1	1	1	3	2	1	1	2	1	1	1	5	1	2	1	2
Quantitate de gruppos non-abelian	0	0	0	0	0	1	0	2	0	1	0	3	0	1	0	9	0	3	0	3
Quantitate de gruppos in toto	1	1	1	2	1	2	1	5	2	2	1	5	1	2	1	14	1	5	1	5

Abbreviaturas

• $A_{2}\cong S_{1}\cong \mathbb {Z} _{1}$ es le gruppo trivial.
• $A_{n}$ es le gruppo alternante del grado $n$, con $n!/2$ permutationes de $n$ elementos pro $n\geq 2$.
• $C_{n}$ = $\mathbb {Z} _{n}$ = $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ es le gruppo cyclic del ordine $n$.
• $D_{n}$ es le gruppo dihedre del ordine $2n$.
• $\mathrm {Dic} _{n}$ es le gruppo dicyclic del ordine $4n$.
• $Q_{8}$ es le gruppo de quaterniones del ordine $8$.
• $S_{n}$ es le gruppo symmetric del grado $n$, con $n!$ permutationes de $n$ elementos.
• $V_{4}$ es le gruppo de Klein del ordine $4$.

Tabella

Ordine	Gruppo	Subgruppos non-trivial	Proprietates	Graphico cyclo
1	$\mathbb {Z} _{1}\cong S_{1}\cong A_{2}$		abelian, cyclic
2	$\mathbb {Z} _{2}\cong S_{2}\cong D_{1}$		abelian, finite, simple, cyclic, le minus grande gruppo non-trivial
3	$\mathbb {Z} _{3}\cong A_{3}$		abelian, simple, cyclic
4	$\mathbb {Z} _{4}\cong \mathrm {Dic} _{1}$	$\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$V_{4}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}\cong D_{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	abelian, le minus grande gruppo non-cyclic
5	$\mathbb {Z} _{5}$		abelian, simple, cyclic
6	$\mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$	$\mathbb {Z} _{3}$, $\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$S_{3}\cong D_{3}$   gruppo symetric $S_{3}$	$\mathbb {Z} _{3}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	le minus grande gruppo non-ablian
7	$\mathbb {Z} _{7}$		abelian, simple, cyclic
8	$\mathbb {Z} _{8}$	$\mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$	$2\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $D_{2}$	abelian
	$\mathbb {Z} _{2}^{3}\cong D_{2}\times \mathbb {Z} _{2}$	$7\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $7\cdot D_{2}$	abelian
	$D_{4}$	$\mathbb {Z} _{4}$, $2\cdot D_{2}$, $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	$Q_{8}\cong \mathrm {Dic} _{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}$	non-abelian; le minus grande gruppo hamiltonian
9	$\mathbb {Z} _{9}$	$\mathbb {Z} _{3}$	abelian, cyclic
	$\mathbb {Z} _{3}^{2}$	$4\cdot \mathbb {Z} _{3}$	abelian
10	$\mathbb {Z} _{10}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{5}$	$\mathbb {Z} _{5}$, $\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$D_{5}$	$\mathbb {Z} _{5}$, $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
11	$\mathbb {Z} _{11}$		abelian, simple, cyclic
12	$\mathbb {Z} _{12}\cong \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{3}$	$\mathbb {Z} _{6}$, $\mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}\times \mathbb {Z} _{3}\cong D_{2}\times \mathbb {Z} _{3}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{6}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $D_{2}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	abelian
	$D_{6}\cong D_{3}\times \mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{6}$, $2\cdot D_{3}$, $3\cdot D_{2}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	$A_{4}$	$D_{2}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{3}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian; nulle subgruppo de ordine 6
	$\mathrm {Dic} _{3}$	$\mathbb {Z} _{6}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $\mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
13	$\mathbb {Z} _{13}$		abelian, simple, cyclic
14	$\mathbb {Z} _{14}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{7}$	$\mathbb {Z} _{7}$, $\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$D_{7}$	$\mathbb {Z} _{7}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
15	$\mathbb {Z} _{15}\cong \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{5}$	$\mathbb {Z} _{5}$, $\mathbb {Z} _{3}$	abelian, cyclic
16	$\mathbb {Z} _{16}$	$\mathbb {Z} _{8}$, $\mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$\mathbb {Z} _{2}^{4}$	$15\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $35\cdot D_{2}$, $15\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}$	abelian
	$\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}^{2}$	$7\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $7\cdot D_{2}$, $\mathbb {Z} _{2}^{3}$, $6\cdot \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	abelian
	$\mathbb {Z} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $D_{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{8}$, $\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	abelian
	$\mathbb {Z} _{4}^{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $6\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $D_{2}$,$3\cdot \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	abelian
	$D_{8}$	$\mathbb {Z} _{8}$, $2\cdot D_{4}$, $4\cdot D_{2}$, $\mathbb {Z} _{4}$, $9\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	$D_{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	$4\cdot D_{4}$, $\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}$, $13\cdot \mathbb {Z} _{2}^{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $11\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	$Q_{16}\cong \mathrm {Dic_{4}}$	$\mathbb {Z} _{8}$, $2\cdot Q_{8}$, $5\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	$Q_{8}\times \mathbb {Z} _{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$, $4\cdot Q_{8}$, $6\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian, gruppo hamiltonian
	gruppo quasi-dihedre	$\mathbb {Z} _{8}$, $Q_{8}$, $D_{4}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	M-gruppo (gruppo non-abelian, non-hamiltonian, modular)	$2\cdot \mathbb {Z} _{8}$, $\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	producto semidirecte $\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{4}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$, $6\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	le gruppo create per matrices de Pauli	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$, $3\cdot D_{4}$, $Q_{8}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
	$G_{4,4}=V_{4}\rtimes \mathbb {Z} _{4}$	$2\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian
17	$\mathbb {Z} _{17}$		abelian, simple, cyclic
18	$\mathbb {Z} _{18}\cong \mathbb {Z} _{9}\times \mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{9},\mathbb {Z} _{6},\mathbb {Z} _{3},\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{3}$	$\mathbb {Z} _{6},\mathbb {Z} _{3},\mathbb {Z} _{2}$	abelian
	$D_{9}$		non-abelian
	$S_{3}\times \mathbb {Z} _{3}$		non-abelian
	$(\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3})\rtimes _{\alpha }\mathbb {Z} _{2}$ con $\alpha (1)={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$		non-abelian
19	$\mathbb {Z} _{19}$		abelian, simple, cyclic
20	$\mathbb {Z} _{20}\cong \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}$	$\mathbb {Z} _{10},\mathbb {Z} _{5},\mathbb {Z} _{4},\mathbb {Z} _{2}$	abelian, cyclic
	$\mathbb {Z} _{10}\times \mathbb {Z} _{2}\cong \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{5},\mathbb {Z} _{2}$	abelian
	$Q_{20}\cong \mathrm {Dic} _{5}$		non-abelian
	$\mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{4}\cong$ gruppo affine $\mathrm {AGL} _{1}$(5)		non-abelian
	$D_{10}\cong D_{5}\times \mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{10},D_{5},\mathbb {Z} _{5},5\cdot V_{4},6\cdot \mathbb {Z} _{2}$	non-abelian