Historia de geometria

Iste articulo require revision linguistic

Corrige le errores de grammatica, orthographia o stilo in le articulo. Postea, retira iste aviso.

Geometria (ex le Greco Ancian: γεωμετρία; geo- "terra", -metron "mesura") nasceva como le campo de cognoscentia que tracta del relationes spatial. Geometria esseva un del duo campos del mathematica pre-moderne, le altere essente le studio del numeros (arithmetica).

Le geometria classic esseva focalisate in constructiones con compasso e regla recte. Geometria esseva revolutionate per Euclide, qui introduceva le rigor mathematic e le methodo axiomatic que ancora es in uso hodie. Su libro, Elementos, es considerate como le libro de texto plus influente de omne tempore, e esseva cognoscite per tote le personas educate in le Occidente usque al medietate del seculo 20.[1]

In le tempore moderne, conceptos geometric ha essite generalisate a un alte nivello de abstraction e complexitate, e ha essite tractate con le methodos del calculo e algebra abstracte, tanto que multe ramos moderne del campo es apenas recognoscibile como descendentes del geometria primitiv.

Geometria tosto

Le initios plus ancientemente documentate de geometria pote esser retraciate a populos antique, tal como le antique Valle del Indo (vider mathematicas Harappan) e le antique Babylonia (vider mathematicas babylonian) circa 3000 a.C. Le geometria primeva esseva un collection de principes empiricamente discoperite concernente longores, angles, areas, e volumes, que esseva disveloppate pro satisfacer alcun necessitate practical in mensuration, construction, astronomia, e diverse artesanatos. Inter illes haberea alcun principes surprendentemente sophisticate, e un mathematiciano moderne poterea trovar difficile de derivar alcun de illes sin le uso del calculo e algebra. Per exemplo, tanto le egyptianos como le Babylonianos cognosceva versiones del theorema de Pythagora circa 1500 annos ante Pythagora, e le Indian Sulba Sutras circa 800 a.C. contineva le prime declarationes del theorema; le Egyptianos habeva un formula juste pro le volume de un truncamento de un pyramide quadrate.

Geometria babylonian

Le babylonianos poteva haber cognoscite le regulas general pro mesurar areas e volumes. Illes mesurava le circumferentia de un circulo como tres vices le diametro e le area como un duodecime del quadrato del circumferentia, lo que essererea juste si π es approximat a 3. Le volume de un cylindro esseva prendite como le producto del base e del altura, tamen, le volume del truncamento de un cono o de un pyramide quadrate esseva incorrectemente prendite como le producto del altezza e del metade del summo del bases. Le theorema de Pythagora esseva cognoscite tamben per le babylonianos.

In ultra, un recentemente scoperta monstra que un tabula usava π como 3 e 1/8. Le babylonianos es tamben cognoscite pro le mille babylonian, que esseva un misura de distantia equivalente a circa septem millas hodie. Iste mesura de distantias eventualmente esseva convertite a un mille-tempo usate pro mesurar le trajectoria del Sol, e per consequente representava tempore.[3] Recentemente, on ha facite scopertas que monstra que le Babylonianos antique poteva haber discoperite geometria astronomic circa 1400 annos ante que le europeos faceva lo.[4]

Geometria del India Vedic

Le periodo vedic indian habeva un tradition de geometria, exprimate principalmente in le construction de altarios elaborate. Textos indianes antique (1er millennio a.C.) super iste subjecto include le Satapatha Brahmana e le Śulba Sūtras.[5][6][7]

Le Śulba Sūtras ha essite describe como "le expression verbal existente le plus vetule del Theorema de Pythagora in le mundo, ben que illo habeva ja essite cognoscite per le Vetule Babylonianos."[8] Illes usa triplices pythagorean,[9][10] que es casos particular de equaciones diofantin.[11]

Secundo le mathematician S. G. Dani, le tabula cuneiforme babylonian Plimpton 322, scribite circa 1850 a.C.,[12] "contine quinze triplices pythagorean con entratas bastante grande, includente (13500, 12709, 18541) que es un triplice primitiv,[13] indicando, in particular, que il habeva un comprension sofisticate super iste subjecto" in Mesopotamia in 1850 a.C.[14] "Dato que iste tabulas antedate le periodo del Sulbasutras per plure seculos, considerando le apparente contextuale de alcun del triplices, es rationabile expectar que un comprension similari habeva existite in India."[14] Dani continua a dicer:[15]

Como le objectivo principal del Sulvasutras esseva describer le constructiones de altarios e le principios geometric involvite in illes, le subjecto del triplices pythagorean, etiam si esseva ben comprendite, poteva non esser includite in le Sulvasutras. Le occurentia del triplices in le Sulvasutras es comparable al mathematica que on pote incontrar in un libro introductive de architectura o altere campos similari applicate, e non corresponderea directamente al cognoscentia general super le subjecto a illo tempore. Dato que, unfortunate, nulle altere fontes contemporanee ha essite trovate, il pote esser que on nunquam potera resolver iste question satisfacente.

Geometria grec

Thales e Pythagoras

Thales (635–543 a.C.) de Miletus (in le sud-west del Turchia hodierne) esseva le prime a qui on attribue le uso del deduction in mathematica. Il ha cinque propositiones geometric pro le quales ille haberea scribite demonstrationes deductive, ben que su demonstrationes non ha supervivate. Pythagoras (582–496 a.C.) de Ionia, e plus tarde del Italia (tunc colonisate per le Grecos), poterea haber essite discipulo de Thales, e viagiava a Babylon e Egypto. Le theorema que porta su nomine poterea non haber essite su proprie invention, ma il es probabile que ille esseva inter le prime a fornir un demonstration deductive del theorema. Ille congregava un gruppo de studiosos pro studiar mathematica, musica e philosophia, e insimul illes discoperiva multe del conceptos que hodie es apprendite in le cursos de geometria in le schola secundari. In ultra, illes faceva le profundo discovery del longores incommensurabile e numeros irrational.

Platon

Platon (427–347 a.C.) esseva un philosopho, altamente appreciate per le grecos. Il ha un historia que ille habeva facite inscriber supra le ingresso de su famose schola: “Que nemo ignorant del geometria entra hic.” Totevia, on considera que iste historia es improbabile.[16] Ben que ille mesme non esseva mathematician, su opiniones super le mathematica habeva grande influentia. Le mathematicos acceptava su conviction que le geometria deberea usar solmente compasso e regula recte – e jammais instrumentos de mensura tal como reglas marcate o rapportatores, pois que istos esseva utensiles de laboratores, non digne de un studioso. Iste dictato conduceva a un studio profund del constructiones possibile con compasso e regula, e al tres classic problemas geometric: como trisectionar un angulo, como construir un cubo con duple volumen de un cubo date, e como construir un quadrato equal in area a un circulo date. Le demonstrationes del impossibilitate de iste constructiones, finalmente obtenite in le seculo 19, portava al principios importante concernente le structura profonde del systema de numeros real. Aristoteles (384–322 a.C.), le plus eminente discipulo de Platon, scribeba un tractato super le methodos de rationamento usate in demonstrationes deductive (vider Logica) que non esseva substantialmente meliorate usque al seculo 19.

Geometria hellenistic

Euclide

Euclide (circa 325–265 a.C.), de Alexandria, probabilemente un studente del Academia fundate per Platon, scribeba un tractato in 13 libros (capitulos), intitulate Le Elementos de Geometria, in le qual ille presentava le geometria in un forma axiomatic ideal, que deveniva cognoscite como geometria euclideane. Iste tractato non esseva un compendio de toto lo que le mathematicos hellenistic sapeva tunc re geometria; Euclide ipse scribeba octo altere libros plus avantiate super le geometria. Nos sape ab altere referentias que le obra de Euclide non esseva le prime libro elemental de geometria, ma illo esseva tanto superior que le alteres cadeva in disuso e se perdeva. Ille esseva portate al universitate in Alexandria per Ptolemeo I, rege de Egypto.

Le Elementos comenciava con definitiones de terminos, principios geometric fundamental (appellate axiommas o postulatos), e principios quantitative general (appellate notiones commun) ex le quales tote le resto del geometria poteva esser deducite logicamente. Su cinque axiommas, in forma un poco parafrasate pro facilitar le lectura in anglese, es le sequente:

1. Cata duo punctos pote esser unite per un linea recte.
2. Cata linea recte finite pote esser extendite in un linea recte.
3. Un circulo pote esser tracciate con omne centro e omne radio.
4. Tote angulos recte es equal inter se.
5. Si duo lineas recte in un plano es intersecate per un altere linea (appellate le transversale), e le angulos interior inter le duo lineas e le transversale que jace sur un latere del transversale sume a minus que duo angulos recte, tun

c sur ille latere del transversale, le duo lineas extendite se intersecaran (iste postulate es etiam appellate le postulato parallel).

Conceptos que hodie es comprehendite como algebra esseva exprimitte geometricamente per Euclide, un methodo appellate algebra geometric grec.

Geometria chinese

Le prime obra definitive (o al minus le plus antique que ancora existe) super geometria in China esseva le Mo Jing, le canon mohista del prime philosophic Mozi (circa 470–390 a.C.). Illo esseva compilate annos post su morte per su sequaces circa le anno 330 a.C.[23] Ben que le Mo Jing es le plus vetule libro geometric que ancora existe in China, il es possibile que textos ancora plus vetule habeva existite. Totevia, a causa del famose Incendio del Libros, un manovra politic conducite per Qin Shihuang, le rege del dynastia Qin (reg. 221–210 a.C.), multitudes de obras litterari scribite ante ille tempore esseva destruite. In ultra, le Mo Jing presenta conceptos geometric in mathematica que sembla troppo avantiate pro non haber habite un base geometric anterior o un fundo mathematic precedente.

Le Mo Jing describe varie aspectos de plure disciplinas associate al scientia physic, e forni un modesta ricchessa de informationes mathematic. Illo forni un definition ‘atomic’ del puncto geometric, declarante que un linea es dividite in partes, e que le parte que non ha plus partes restante (i.e., non pote esser subdividite) e forma le extremitate de un linea, es un puncto.[23] Simile al prime e tertie definitiones de Euclide e al concepto de Platon del “initio de un linea”, le Mo Jing diceva que: “un puncto pote star al fin (de un linea) o a su initio como un presentation de capite in le nascentia. (Quanto a su invisibilitate,) il ha nihil que es simile a illo.”[24] Simile al atomistas de Democritus, le Mo Jing affirmava que un puncto es le plus parve unitate, e non pote esser dividite in duo, proque ‘nihil’ non pote esser dividite.[24] Illo affirmava que duo lineas de equal longitude sempre terminara al mesme loco,[24] e forni definitiones pro le comparation de longitudes e pro lineas parallel,[25] insimul con principios de spatio e spatio limitate.[26] Illo etiam describeba le facto que planos sin spissor non pote esser empilate, pois que illos non pote toccar se mutuamente.[27] Le libro forni definitiones pro circumferentia, diametro, e radio, insimul con un definition de volumine.[28]

Durante le periodo del dynastia Han (202 a.C. – 220 d.C.), le mathematica floriva novemente in China. Un del plus vetule textos mathematic chinese que presenta progressiones geometric es le Suàn shù shū del anno 186 a.C., in le era del Han occidental. Le mathematico, inventor e astronomo Zhang Heng (78–139 d.C.) usava formulas geometric pro solver problemas mathematic. Ben que approximationes rudimentari pro pi (π) esseva date in le Zhou Li (compilate in le 2e seculo a.C.),[29] esseva Zhang Heng le prime a facer un efforto dedicate pro un formula plus precise de pi. Zhang Heng approximava pi como 730/232 (circa 3.1466), ben que ille usava un altere formula in le calculo de volumine spheral, adoptante le radice quadrate de 10 (circa 3.162). Zu Chongzhi (429–500 d.C.) meliorava le approximation de pi con un intervallo inter 3.1415926 e 3.1415927, e forni duo approximations notabile: 355⁄113 (密率, Milü, approximation detaliante) e 22⁄7 (约率, Yuelü, approximation rudimentari).[30] In comparation, le formula de pi fornite plus tarde per le mathematico francese Franciscus Vieta (1540–1603) cadeva approximativemente al medie inter le approximationes de Zu.

Le Nove Capítulos del Arte Mathematic

Le Nove Capítulos del Arte Mathematic, un titulo que appareva pro le prime vice circa le anno 179 d.C. sur un inscription de bronzo, esseva editate e commentate per le mathematico Liu Hui del 3e seculo, del Regno de Cao Wei. Iste libro contineva multe problemas ubi le geometria esseva applicate, tal como le calculo de areas superficial de quadratos e circulos, le volumines de solidos in varie formas tridimensional, e etiam le uso del theorema de Pythagoras. Le libro contineva un demonstration illustrate del theorema de Pythagoras,[31] e un dialogo scribite inter le ancian Duca de Zhou e Shang Gao super le proprietates del triangulo rectangular e le theorema de Pythagoras. Illo etiam faceva referentia al gnomon astronomic, al circulo e al quadrato, assi como al mesurationes de altitudines e distantias.[32]

Le editor Liu Hui calculava pi como 3.141014 per uso de un polygono con 192 lateros, e plus tarde como 3.14159 con un polygono de 3072 lateros. Isto esseva plus precise que le approximation de su contemporaneo Wang Fan, un mathematico e astronomo del stato de Wu Oriental, qui approximava pi como 3.1555 per uso de 142⁄45.[33] Liu Hui etiam scribeva super technicas de mesuration mathematic pro calcular distantias de profunditate, altor, largor, e area superficial. In terminos de geometria solid, ille comprendeva que un cunia con base rectangular e ambe lateros inclinate pote esser disassemble in un pyramide e un cunia tetrahedral.[34] Ille etiam comprendeva que un cunia con base trapezoidal e ambe lateros inclinate pote esser dividite in duo cunias tetrahedral separate per un pyramide.[34]

In ultra, Liu Hui describeva le principio de Cavalieri pro volumines, assi como le elimination de Gauss. Le Nove Capítulos lista le sequente formulas geometric que esseva cognoscite jam durante le periodo del Dynastia Han Anterior (202 a.C. – 9 d.C.).

Continuante le hereditage geometric del antiquitate chinese, multe figuras importante emergeva in epochas posterior, inter illes le famose astronomo e mathematico Shen Kuo (1031–1095 EC), Yang Hui (1238–1298), qui discoperiva le Triangulo de Pascal, Xu Guangqi (1562–1633), e multe alteres.

Etate aurate islamic

Thābit ibn Qurra, usando lo que ille appellava le methodo de reduction e composition, provideva duo differentes demonstrationes general de teorema de Pythagora pro tote le triangulos, ante le quales demonstrationes existeva solmente pro le casus special de un triangulo recte special.[36]

Un articulo de 2007 in le revista Science suggeriva que le tessellas girih habeva proprietates consistente con mosaicos quasicristallin fractal autocognoscente, tal como le mosaicos de Penrose.[37][38]

Renascentia

Le transmission del classicos grec a Europa medieval per le litteratura arabic del “Etate Daurate Islamic” del IX e X seculo comenciava in le X seculo e culminava in le traductiones latine del XII seculo. Un copia del Almagest de Ptolemeo esseva reportate a Sicilia per Henrico Aristippo (m. 1162), como un dono del Imperator al Rey Guilielmo I (regnava 1154–1166). Un studente anonym a Salerno viagiava a Sicilia e traducteva le Almagest e plure obras de Euclide del grec al latino.[39] Benque le sicilianos generalmen traduceva directemente del grec, quando le textos graecos non esseva disponibile, illes traducerea del arabic. Eugenius de Palermo (m. 1202) traducteva le Optica de Ptolemeo al latino, usante su cognoscentia de tote tres linguas in iste labor.[40] Le methodos rigorose deductive de geometria trovate in Elementos de Geometria de Euclide esseva reapprehendite, e ulteriore disveloppamento de geometria in le estilos de Euclide (geometria euclidian) e Khayyam (geometria algebraic) continuava, resultante in abondantia de nove theoremas e conceptes, multe de illes multo profund e elegante.

Progressos in le tractamento del perspectiva esseva facite in arte del Renascita del XIV e XV seculos, que superava lo que esseva attingite in le antiquitate. In architectura renascimentale del Quattrocento, le conceptes de ordine architectural esseva explorate e regulas esseva formulate. Un exemplo prime es le Basilica di San Lorenzo in Florentia per Filippo Brunelleschi (1377–1446).[41]

Circa 1413, Filippo Brunelleschi demonstrava le methodo geometric de perspectiva, usate hodie per artistas, per pintrar le contornos de varii edificios florentin super un speculo. Poco post, quasi cata artista in Florentia e in Italia usava perspectiva geometric in lor picturas,[42] notablemente Masolino da Panicale e Donatello. Melozzo da Forlì primariamente usava le technica de foreshortening verso alto (in Roma, Loreto, Forlì e altere locos), e esseva celebrato pro isto. Perspective non esseva solmente un maniera de monstrar profunde, ma etiam un nove methodo de composer un pictura. Picturas comenciava a monstrar un scena unic e unite, in loco de un combination de plure.

Como monstrava le rapide proliferation de picturas accurate de perspectiva in Florentia, Brunelleschi probabilmente comprendeva (con le adjuta de su amico, le mathematiciano Toscanelli),[43] ma non publicava, le mathematica detra le perspectiva. Decadias plus tarde, su amico Leon Battista Alberti scribeva De pictura (1435/1436), un tractato super le proper methodos de monstrar distantia in pictura basate sur geometria euclidiana. Alberti esseva etiam educate in le scientia del optica per le schola de Padua e sub le influentia de Biagio Pelacani da Parma, qui studiate le Optica de Alhazen.

Piero della Francesca elabora De pictura in su De Prospectiva Pingendi in le 1470s. Alberti se limitava a figuras super le plano de terra e dava un base general pro perspectiva. Della Francesca explora plus profunde, explicitemente tractante solidos in cata parte del plano pictorial. Ille tamben iniziava le practica commun de usar figuras illustrate pro explicar le conceptes mathematic, faciente su tractato plus facile a comprender que ille de Alberti. Della Francesca esseva etiam le prime a disegnar accurate le solidos platonician tal como los appare in perspectiva.

Perspective remaneva, pro un periodo, le dominio de Florentia. Jan van Eyck, inter alteres, non poteva crear un structura consistente pro le lineas convergente in picturas, tal como in Le Ritratto Arnolfini de Londra, proque ille non cognosceva le breakthrough theoretic que justi allora occurreva in Italia. Tamen ille attingeva effectos multo subtile per manipulationes del scala in su interiores. Gradualmente, e parte per le movimento de academias de artes, le technicas italiane deveniva parte del instruction de artistas in tote Europa, e postea in altere partes del mundo. Le culmination de iste traditiones renascimentale trova su synthesis ultime in le recerca del architecto, geometrista, e optico Girard Desargues super perspectiva, optica e geometria projective.

Le Homine de Vitruvio de Leonardo da Vinci (c. 1490)[44] representa un homine in duo positiones superimpose, con su brazos e pedes separate, inscritte in un circulo e un quadrato. Le disegno se basa sur le correlationes del proportiones human ideal con geometria describite per le architecto roman antique Vitruvio in le Libro III de su tractato De Architectura.

Geometria moderne

Seculo 17

In le principio del seculo 17, duo disveloppamentos importante occurreva in geometria. Le prime e le plus importante esseva le creation de geometria analytic, o geometria con coordinate e equaciones, per René Descartes (1596–1650) e Pierre de Fermat (1601–1665). Iste esseva un precursor necessario pro le disveloppamento del calculo e un scientia quantitative precise de physica. Le secunde disveloppamento geometric de iste periodo esseva le studio systematic del geometria projective per Girard Desargues (1591–1661). Geometria projective es le studio del geometria sine mensura, solmente le studio de como punctos se allinia un con altere. Alcun labor primitiv in iste area esseva facite per geometristas hellenistic, notablemente Pappo (c. 340). Le plus grande floreamento de iste campo occurreva con Jean-Victor Poncelet (1788–1867).

In le fin del seculo 17, le calculo esseva disveloppate independentemente e quasi simultaneamente per Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Iste esseva le initio de un nove ramo del mathematica nunc appellate analysis. Benque non esse un ramo de geometria in se, illo es applicabile al geometria, e resolveva duo familias de problemas que habeva longemente essite quasi irresolvibile: trovar lineas tangentia a curvas irregulare, e trovar areas clausurate per illas curvas. Le methodos del calculo reduciva iste problemas majormente a questiones simple de computation.

Seculos 18 e 19

Geometria non-euclidian

Le problema vetule de provar le quinte postulato de Euclide, le "Postulato del Parallelismo", a partir de su prime quatro postulatos, non esseva mai oblidate. Comenciando non multo post Euclide, multe demonstrationes esseva date, ma tote esseva luego trovate defectuose, perque illes includeva in le rationamento alcun principio que ipse non habeva essite provate a partir del prime quatro postulatos. Benque Omar Khayyám non esseva succedite in provar le postulato del parallelismo, su criticismo del theorias de Euclide super le parallelos e su demonstration de proprietates de figuras in geometrías non-Euclidiana contribuiva al disveloppamento eventual de geometria non-Euclidiana. Entro 1700, un grande quantité de cosas esseva discoperite super lo que pote esser provate ab le prime quatro postulatos e lo que esseva le insidias in tentar provar le quinte. Saccheri, Lambert, e Legendre faceva omnes excellente labor super le problema in le 18me seculo, ma ancora non attingeva al successo.

In le principio del seculo 19, Gauss, Johann Bolyai, e Lobachevsky, catauno independentemente, prendeva un approccio differente. Suspectante que esseva impossibile provar le postulato del parallelismo, illes comenciava a disveloppar un geometria auto-consistente in le qual illo esseva false. In isto illes succedette, creando assi le prime geometria non-euclidian. Entro 1854, Bernhard Riemann, un studente de Gauss, applicava methodos de calculo in un studio innovative del geometria intrinsic (auto-contained) de tote superficies lisce, e trovava assi un altere geometria non-Euclidiana. Iste labor de Riemann deveniva fundamental pro le theorie de relativitate de Einstein.

Il remaneva a provar matematicamente que le geometria non-Euclidiana esseva tanto auto-consistente como le geometria euclidian, e isto esseva prime realisate per Beltrami in 1868. Con isto, le geometria non-Euclidiana esseva establishite super un base mathematic equal al geometria euclidian.

Durante que ora se sapeva que differentes theorías geometric esseva mathematicamente possibile, le question remaneva: "Qual de iste theorías es le correcte pro nostre spatio physic?" Le labor mathematic revelava que iste question debe esser respondite per experimentation physic, non per rationamento mathematic, e monstra le ration proque le experimentation debe involver distancias immense (interstellari, non solmente terrestre). Con le disveloppamento del theorie de relativitate in physica, iste question deveniva multo plus complicate.

Introduction del rigor mathematic

Tote le labor connectite con le Postulato de Parallelismo revelava que esseva multo difficile pro un geometrista separar su rationamento logic del su comprension intuitive del spatio physic, e, in plus, revelava le importantia critical de facer lo. Un exame attentive habeva discoperite alcun inadequatezas logic in le rationamento de Euclide, e alcun principios geometric non manifestate a los que Euclide a vices appelliava. Iste critica parallelava le crisi que occurreva in le calculo e analyse referente al significado de processus infinite tal como convergente e continuo. In geometria, existette un necessitate clar pro un nove set de axiomas, que esserea complete, e que in nul modo dependerea de imagines que nos disegna o de nostre intuition del spatio. Iste axiomas, ora cognoscite como le axiomas de Hilbert, esseva date per David Hilbert in 1894 in su dissertation Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de Geometria).

Analysis situs, o topologia

In le medio del 18me seculo, deveniva evidente que certe progressiones de rationamento mathematic se repeteva quando ideas similar esseva studiate super le linea numeric, in duo dimensiones, e in tres dimensiones. Assi, le concepto general de spatio metric esseva create pro que le rationamento poterea esser facite con plus generalitate, e postea applicate a casos special. Iste methodo de studiar conceptos relate a calculo e analyse deveniva cognoscite como analysis situs, e postea como topologia. Le topicos importante in iste campo esseva proprietates de figuras plus general, tal como connexion e limites, plus que proprietates como rectitudine, e precise equalitate de mesuras de longitudine e angulo, que habeva essite le foco del geometria euclidee e non-euclidee. Topologia tosto deveniva un campo separate de grande importantia, plus que un subcampo de geometria o analyse.

Geometria de plus de 3 dimensiones

Le 19me seculo videva le disveloppamento del concepto general de spatio euclidee per Ludwig Schläfli, que extendeva le geometria euclidee al delà de tres dimensiones. Ille discoperiva tote le analogos in dimensiones plus alte del solide platonice, trovante que il ha exactemente sex tal poliedros convex regulares in le quarte dimension, e tres in tote le dimensiones plus alte.

In 1878 William Kingdon Clifford introduceva lo que ora es nominate algebra geometrica, unificando le quaterniones de William Rowan Hamilton con le algebra de Hermann Grassmann e revelante le natura geometrice de iste systemas, specialmente in quatro dimensiones. Le operationes del algebra geometrica ha le effecto de reflecter, rotar, translar, e mappar le objectos geometric que es modelate a nove positiones.

Le seculo 20

Le disveloppamentos in geometria algebraic includeva le studio de curvas e superficies super campos finite, como demonstrate per le obras de, inter alteres, André Weil, Alexander Grothendieck, e Jean-Pierre Serre, assi como super le numeros real o complexe. Le geometria finite ipse, le studio de spatios con solmente un numero finite de punctos, trovava applicationes in le theoria de codification e cryptographia. Con le advento del computator, nove disciplinas como geometria computative o geometria digital tracta algoritmos geometric, representationes discrete de datos geometric, e assi via.